Bài toán r thay đổi

LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

1. Mạch R-L-C có R thay đổi (các đại lượng khác không đổi)

Xét bài toán tổng quát:

Cho mạch điện R-L-C mắc nối tiếp cuộn dây thuần cảm có R thay đổi (các đại lượng khác không đổi). Tìm R để:

a) ${{I}_{max }},{{U}_{Lmax }};{{U}_{Cmax }}$ b) ${{U}_{Rmax }}$ c) ${{P}_{max }}$

HD giải:

a) Ta có: $I=frac{U}{Z}=frac{U}{sqrt{{{R}^{2}}+{{left( {{Z}_{L}}-{{Z}_{C}} right)}^{2}}}}le frac{U}{left| {{Z}_{L}}-{{Z}_{C}} right|}$ khi $R=0$

Do đó ${{I}_{max }}=frac{U}{left| {{Z}_{L}}-{{Z}_{C}} right|}$ suy ra $left{ begin{array}{} {{U}_{Lmax }}={{Z}_{L}}.{{I}_{max }}={{Z}_{L}}.frac{U}{left| {{Z}_{L}}-{{Z}_{C}} right|} \ {} {{U}_{Cmax

}}={{Z}_{c}}.{{I}_{max }}={{Z}_{c}}.frac{U}{left| {{Z}_{L}}-{{Z}_{C}} right|} \ end{array} right.$

b) ${{U}_{R}}=R.I=R.frac{U}{sqrt{{{R}^{2}}-{{left( {{Z}_{L}}-{{Z}_{C}} right)}^{2}}}}=frac{U}{sqrt{1+{{left( frac{{{Z}_{L}}-{{Z}_{C}}}{R} right)}^{2}}}}to U$

c) Ta có: $P=R.{{I}^{2}}=R.frac{{{U}^{2}}}{{{R}^{2}}+{{left( {{Z}_{L}}-{{Z}_{C}} right)}^{2}}}=frac{{{U}^{2}}}{R+frac{{{left( {{Z}_{L}}-{{Z}_{C}} right)}^{2}}}{R}}$

Theo bất đẳng thức $AM-GM$ ta có $R+frac{{{left( {{Z}_{L}}-{{Z}_{C}} right)}^{2}}}{R}ge 2sqrt{R.frac{{{left( {{Z}_{L}}-{{Z}_{C}} right)}^{2}}}{R}}=2left| {{Z}_{L}}-{{Z}_{C}} right|$

Khi đó $Ple frac{{{U}^{2}}}{2left| {{Z}_{L}}-{{Z}_{C}} right|}$ , dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $R=left| {{Z}_{L}}-{{Z}_{C}} right|$

Do đó ${{P}_{max }}=frac{{{U}^{2}}}{2R}=frac{{{U}^{2}}}{2left| {{Z}_{L}}-{{Z}_{C}} right|}$ khi $R=left| {{Z}_{L}}-{{Z}_{C}} right|$

Dạng đồ thị

Ta có:

+) $R=0Rightarrow P=0$

+) $R=left| {{Z}_{L}}-{{Z}_{C}} right|Rightarrow P={{P}_{max }}=frac{{{U}^{2}}}{2R}$

+) $Rto +infty Rightarrow Pto 0$

2. Mạch R-Lr-C có R thay đổi (các đại lượng khác không đổi).

Xét bài toán tổng quát:

Cho mạch điện R-L-C mắc nối tiếp cuộn dây thuần cảm có R thay đổi (các đại lượng khác không đổi). Tìm R để:

a) ${{I}_{max }},{{U}_{Lmax }};{{U}_{Cmax }}$ $b){{P}_{max }}$ $c){{P}_{Rmax }}$

HD giải:

a) Ta có: $I=frac{U}{Z}=frac{U}{sqrt{{{left( R+r right)}^{2}}+{{left( {{Z}_{L}}-{{Z}_{C}} right)}^{2}}}}le frac{U}{sqrt{{{r}^{2}}+{{left( {{Z}_{L}}-{{Z}_{C}} right)}^{2}}}}$ khi $R=0$

Do đó ${{I}_{max }}=frac{U}{sqrt{r+{{left( {{Z}_{L}}-{{Z}_{C}} right)}^{2}}}}$ suy ra $left{ begin{array}{} {{U}_{Lmax }}={{Z}_{L}}.{{I}_{max }}={{Z}_{L}}.frac{U}{sqrt{r+{{left( {{Z}_{L}}-{{Z}_{C}} right)}^{2}}}} \

{} {{U}_{Cmax }}={{Z}_{C}}.{{I}_{max }}={{Z}_{C}}.frac{U}{sqrt{r+{{left( {{Z}_{L}}-{{Z}_{C}} right)}^{2}}}} \ end{array} right.$

b) Ta có :$P=left( R+r right){{I}^{2}}=left( R+r right).frac{{{U}^{2}}}{{{left( R+r right)}^{2}}+{{left( {{Z}_{L}}-{{Z}_{C}} right)}^{2}}}=frac{{{U}^{2}}}{R+r+frac{{{left( {{Z}_{L}}-{{Z}_{C}} right)}^{2}}}{R+r}}$

$Rightarrow Ple frac{{{U}^{2}}}{2left| {{Z}_{L}}-{{Z}_{C}} right|}$ (dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi$R+r=left| {{Z}_{L}}-{{Z}_{C}} right|$) (với $rle left| {{Z}_{L}}-{{Z}_{C}} right|$)

Chú ý: Trong trường hợp $r>left| {{Z}_{L}}-{{Z}_{C}} right|Leftrightarrow {{P}_{max }}$ khi $R=0$

c) Ta có: ${{P}_{R}}=R{{I}^{2}}=R.frac{{{U}^{2}}}{{{left( R+r right)}^{2}}+{{left( {{Z}_{L}}-{{Z}_{C}} right)}^{2}}}=Rfrac{{{U}^{2}}}{{{R}^{2}}+2Rr+{{r}^{2}}+{{left( {{Z}_{L}}-{{Z}_{C}} right)}^{2}}}$

$=frac{{{U}^{2}}}{R+frac{{{r}^{2}}+{{left( {{Z}_{L}}-{{Z}_{C}} right)}^{2}}}{R}+2r}le frac{{{U}^{2}}}{2sqrt{{{r}^{2}}+{{left( {{Z}_{L}}-{{Z}_{C}} right)}^{2}}+2r}}$

Vậy ${{P}_{max }}=frac{{{U}^{2}}}{2sqrt{{{r}^{2}}+{{left( {{Z}_{L}}-{{Z}_{C}} right)}^{2}}+2r}}$ khi $R=sqrt{{{r}^{2}}+{{left( {{Z}_{L}}-{{Z}_{C}} right)}^{2}}}$

Khi đó

+) Tổng trở: ${{Z}^{2}}={{left( R+r right)}^{2}}+{{left( {{Z}_{L}}-{{Z}_{C}} right)}^{2}}={{R}^{2}}+2Rr+left[ {{r}^{2}}+{{left( {{Z}_{L}}-{{Z}_{C}} right)}^{2}} right]$

$={{R}^{2}}+2Rr+{{R}^{2}}=2Rleft( R+r right)Leftrightarrow Z=sqrt{2Rleft( R+r right)}$

+) Hệ số công suất: $cos varphi =frac{R+r}{Z}=frac{R+r}{sqrt{2Rleft( R+r right)}}=sqrt{frac{R+r}{2R}}>frac{1}{sqrt{2}}Rightarrow varphi <frac{pi }{4}$

Bài tập minh họa:

Cho mạch điện xoay chiều gồm cuộn dây có $r=50Omega $,$L=0.4/pi $ và tụ điện có điện dung $C={{10}^{-4}}/pi (F)$và điện trở thuần R thay đổi được. Điện áp hai đầu mạch là $u=100sqrt{2}cos pi tV$. Tìm R để

a) hệ số công suất của mạch là $cos varphi =0.5$ .

b) công suất tỏa nhiệt trên toàn mạch đạt cực đại. Tính giá trị cực đại đó.

c) công suất tỏa nhiệt trên điện trở R cực đại. Tính giá trị cực đại của công suất đó.

HD giải: Ta có ${{Z}_{L}}=40Omega ,{{Z}_{C}}=100Omega ,U=100V$

a) Hệ số công suất của mạch là $cos varphi =frac{R+r}{Z}=frac{1}{2}Rightarrow frac{R+r}{sqrt{{{left( R+r right)}^{2}}+{{left( {{Z}_{L}}-{{Z}_{C}} right)}^{2}}}}=frac{1}{2}$

Thay số ta được: $frac{R+50}{sqrt{{{left( R+50 right)}^{2}}+{{left( 60 right)}^{2}}}}=frac{1}{2}$

Giải phương trình trên ta được các nghiệm R cần tìm

b) Công suất tiêu thụ trên đoạn mạch đạt giá trị cực đại khi $R+r=left| {{Z}_{L}}-{{Z}_{C}} right|$

$Leftrightarrow R+50=60Rightarrow R=10Omega $

Khi đó, công suất cực đại của mạch ${{P}_{max }}=frac{{{U}^{2}}}{2left| {{Z}_{L}}-{{Z}_{C}} right|}=frac{250}{3}W$

c) Công suất tỏa nhiệt trên R cực đại khi $left{ begin{array}{} R=sqrt{{{r}^{2}}+{{left( {{Z}_{L}}-{{Z}_{C}} right)}^{2}}} \ {} {{left( {{P}_{R}} right)}_{max }}=frac{{{U}^{2}}}{2r+sqrt{{{r}^{2}}+{{left( {{Z}_{L}}-{{Z}_{C}} right)}^{2}}}} \ end{array} right.$

Thay số ta được $R=10sqrt{61}Omega $ và ${{left( {{P}_{R}} right)}_{max }}=frac{{{100}^{2}}}{100+20sqrt{61}}W$

3. Mạch R-L-C có R thay đổi (các đại lượng khác không đổi). Bài toán hai giá trị

Xét bài toán:

Cho mạch điện R-L-C mắc nối tiếp cuộn dây thuần cảm có R thay đổi (các đại lượng khác không đổi). Với $R={{R}_{1}}$ và $R={{R}_{2}}$ thì công suất của mạch không đổi $P={{P}_{1}}={{P}_{2}}$

HD giải: Ta có: $P=R{{I}^{2}}=Rfrac{{{U}^{2}}}{{{R}^{2}}+{{left( {{Z}_{L}}-{{Z}_{C}} right)}^{2}}}Leftrightarrow {{R}^{2}}-frac{{{U}^{2}}}{P}R+{{left( {{Z}_{L}}-{{Z}_{C}} right)}^{2}}=0(*)$

Khi đó ${{R}_{1}}$ và ${{R}_{2}}$ là nghiệm của phương trình (*) (Do các đại lượng khác là hằng số).

Theo định lý Viet ta có: $left{ begin{array}{} {{R}_{1}}+{{R}_{2}}=frac{{{U}^{2}}}{P}Rightarrow P=frac{{{U}^{2}}}{{{R}_{1}}+{{R}_{2}}} \ {} {{R}_{1}}{{R}_{2}}={{left( {{Z}_{L}}-{{Z}_{C}} right)}^{2}} \ end{array} right.$

Với $R={{R}_{1}}$ ,ta có: $tan {{varphi }_{1}}=frac{{{Z}_{L}}-{{Z}_{C}}}{{{R}_{1}}},cos {{varphi }_{1}}=frac{{{R}_{1}}}{{{Z}_{1}}}=frac{{{R}_{1}}}{sqrt{{{R}_{1}}^{2}+{{left( {{Z}_{L}}-{{Z}_{C}} right)}^{2}}}}$

$=frac{{{R}_{1}}}{sqrt{{{R}_{1}}^{2}+{{R}_{1}}{{R}_{2}}}}=sqrt{frac{{{R}_{1}}}{{{R}_{1}}+{{R}_{2}}}}$

Với $R={{R}_{2}}$ ,ta có: $tan {{varphi }_{2}}=frac{{{Z}_{L}}-{{Z}_{C}}}{{{R}_{2}}},cos {{varphi }_{2}}=sqrt{frac{{{R}_{2}}}{{{R}_{1}}+{{R}_{2}}}}$

Suy ra $tan {{varphi }_{1}}.tan {{varphi }_{2}}=frac{{{left( {{Z}_{L}}-{{Z}_{C}} right)}^{2}}}{{{R}_{1}}{{R}_{2}}}=1Rightarrow left[ begin{array}{} {{varphi }_{1}}+{{varphi }_{2}}=frac{pi }{2} \ {} {{varphi }_{1}}+{{varphi }_{2}}=frac{-pi }{2} \ end{array} right.$ hay $left| {{varphi }_{1}} right|+left| {{varphi }_{2}} right|=frac{pi }{2}$

(Chú ý ${{varphi }_{1}};{{varphi }_{2}}$ cùng âm hoặc cùng dương)

Chú ý:

– Nếu mạch khuyết L hoặc C ta có: $left[ begin{array}{} {{R}_{1}}{{R}_{2}}=Z_{L}^{2} \ {} {{R}_{1}}{{R}_{2}}=Z_{C}^{2} \ end{array} right.$

– Cuộn dây không thuần cảm ta có: $left[ begin{array}{} left( {{R}_{1}}+r right)left( {{R}_{2}}+r right)={{left( {{Z}_{L}}-{{Z}_{C}} right)}^{2}} \ {} {{P}_{1}}={{P}_{2}}=frac{{{U}^{2}}}{{{R}_{1}}+{{R}_{2}}+2r} \ end{array} right.$

– Gọi $left{ begin{array}{} R={{R}_{1}} \ {} R={{R}_{2}} \ end{array} right.Rightarrow {{P}_{1}}={{P}_{2}}$ và $R={{R}_{0}}$ khi đó $P={{P}_{max }}$thì ${{R}_{1}}{{R}_{2}}=R_{0}^{2}={{left( {{Z}_{L}}-{{Z}_{C}} right)}^{2}}$và khi đó

${{P}_{max }}=frac{{{U}^{2}}}{2{{R}_{0}}}=frac{{{U}^{2}}}{2sqrt{{{R}_{1}}{{R}_{2}}}}$

Đồ thị của cômg suất P theo R.

Ta có: $R_{0}^{2}={{R}_{1}}R_{1}^{‘}={{R}_{2}}R_{2}^{‘}=..={{R}_{n}}R_{n}^{‘}$

(Trong đó ${{R}_{i}}$ và $R_{i}^{‘}$ là 2 giá trị của R cho cùng một giá trị ${{P}_{i}}$).

Bài tập minh họa:

Cho mạch điện RLC có điện áp hai đầu đoạn mạch là $u=30sqrt{2}cos left( 100pi t right)$ V, R thay đổi được. Khi mạch có $R={{R}_{1}}=9Omega $ thì độ lệch pha giữa u và i là ${{varphi }_{1}}$ .Khi mạch có $R={{R}_{2}}=16Omega $ thì độ lệch pha giữa u và i là ${{varphi }_{2}}$ .Biết $left| {{varphi }_{1}} right|+left| {{varphi }_{2}} right|=frac{pi }{2}$

a) Tính công suất ứng với giá trị ${{R}_{1}}$ và ${{R}_{2}}$

b) Viết biểu thức của cường độ dòng điện ứng với ${{R}_{1}},{{R}_{2}}$

c) Tính L biết $C=frac{{{10}^{-3}}}{2pi }(F)$

d) Tính công suất cực đại của mạch

HD giải:

a) Theo chứng minh công thức ở trên, khi $left{ begin{array}{} R={{R}_{1}},R={{R}_{2}} \ {} left| {{varphi }_{1}} right|+left| {{varphi }_{2}} right|=frac{pi }{2} \ end{array} right.$

$Rightarrow P={{P}_{1}}={{P}_{2}}-frac{{{U}^{2}}}{{{R}_{1}}+{{R}_{2}}}=36W$

b) Ta có: $left{ begin{array}{} R={{R}_{1}},R={{R}_{2}} \ {} left| {{varphi }_{1}} right|+left| {{varphi }_{2}} right|=frac{pi }{2} \ end{array} right.Rightarrow {{left( {{Z}_{L}}-{{Z}_{C}} right)}^{2}}={{R}_{1}}{{R}_{2}}=144Rightarrow left| {{Z}_{L}}-{{Z}_{C}} right|=12$

Khi $R={{R}_{1}}=9Omega $ thì ta có tổng trở của mạch là $Z=sqrt{R_{1}^{2}+{{left( {{Z}_{L}}-{{Z}_{C}} right)}^{2}}}=15Omega $

$Rightarrow I=frac{U}{Z}=2A$

Độ lệch pha của u và i thỏa mãn $tan varphi =frac{{{Z}_{L}}-{{Z}_{C}}}{{{R}_{1}}}=pm frac{4}{3}Rightarrow varphi =arctan left( pm frac{4}{3} right)={{varphi }_{{}^{u}/{}_{i}}}$

$Rightarrow {{varphi }_{i}}=arctan left( pm frac{4}{3} right)$

Từ đó, biểu thức cường độ dòng điện là $i=2sqrt{2}cos left( 100pi tpm arctan left( pm frac{4}{3} right) right)A$

Khi $R={{R}_{2}}=16Omega $ thì ta có tổng trở của mạch là $Z=sqrt{R_{2}^{2}+{{left( {{Z}_{L}}-{{Z}_{C}} right)}^{2}}}=20Omega $

$Rightarrow I=frac{U}{Z}=1,5A$

Độ lệch pha của u và i thỏa mãn $tan varphi =frac{{{Z}_{L}}-{{Z}_{C}}}{{{R}_{1}}}=pm frac{3}{4}Rightarrow varphi =arctan left( pm frac{3}{4} right)={{varphi }_{{}^{u}/{}_{i}}}$

$Rightarrow {{varphi }_{i}}=arctan left( pm frac{3}{4} right)$

Từ đó, biểu thức cường độ dòng điện là $i=1,5sqrt{2}cos left( 100pi tpm arctan left( pm frac{3}{4} right) right)A$

c) Khi $C=frac{{{10}^{-3}}}{2pi }(F)Rightarrow {{Z}_{C}}=20Omega $.Mà $left| {{Z}_{L}}-{{Z}_{C}} right|=12Omega Leftrightarrow left[ begin{array}{} {{Z}_{L}}=32Omega \ {} {{Z}_{L}}=8Omega \ end{array} right.Rightarrow left[ begin{array}{} L=frac{8}{25pi }H \ {} L=frac{2}{25pi }H \ end{array} right.$

d) Công suất cực đại của mạch khi R biến thiên được tính bởi ${{P}_{max }}=frac{{{U}^{2}}}{{{R}_{1}}+{{R}_{2}}}=37,5W$

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai.