Banner Giải bài toán tần số thay đổi bằng phương pháp quái kiệt Tần số trong mạch RLC thay đổi dẫn đến hầu hết các đại lượng khác liên quan đến dòng điện trong mạch thay đổi theo, với những quy luật khác nhau, rất đa dạng. Có những đại lượng luôn đồng biến hoặc luôn nghịch biến, cũng có những đại lượng đạt cực trị. Trong những đại lượng có cực trị khi tần số biến thiên, hai đại lượng rất thú vị trong mạch điện xoay chiều là công suất và cường độ hiệu dụng. Để dễ hình dung ra sự phụ thuộc của hai đại lượng này vào tần số dòng điện, ta xem các đồ thị ở hình vẽ dưới đây. Có vô số cặp giá trị tần số góc $ω_1$ và $ω_2$ cho cùng một giá trị công suất và cùng một giá trị cường độ hiệu dụng. Cặp tần $ω_1$ và $ω_2$ là hai nghiệm của một phương trình bậc hai. Ta gọi hiệu của chúng $Δω=ω_2-ω_1$ là khoảng nghiệm. Tôi đã viết một chuyên đề Áp dụng định lí Viet cho phương trình bậc hai. Ở đó, tích hai nghiệm $ω_1.ω_2$ và tổng hai nghiệm $ω_1 + ω_2$ được vận dụng rất hiệu quả. Bài viết này, tôi chia sẻ một cách tiếp cận khác, đó là vận dụng hiệu hai nghiệm $ω_1 – ω_2$, hay để dễ nhớ, tôi gọi là Phương pháp khoảng nghiệm.

Bài toán tổng quát mạch RLC có tần số thay đổi

Trong mạch điện xoay chiều $RLC$, điện áp hai đầu mạch $u = U_0cos{(ωt)}$, với điện áp cực đại $U_0$ không đổi, tần số góc $ω$ có thể thay đổi được. Có hai giá trị tần số góc $ω = ω_1$ và $ω = ω_2$ mà tại đó cường độ dòng điện hiệu dụng trong mạch bằng nhau và bằng $I_{12}$. Hãy tính $I_{12}$ theo $ω_1$ và $ω_2$.

Trước hết, ta đi từ biểu thức cường độ dòng điện hiệu dụng begin{align} I&=frac{U}{sqrt{R^2+left(omega L-frac{1}{omega C}right)^2}}\ &=frac{U}{sqrt{R^2+{L^2left(omega-frac{1}{omega CL}right)}^2}}\ &=frac{U}{sqrt{R^2+{L^2left(omega-frac{omega_0^2}{omega}right)}^2}}tag{0.1} end{align} Theo bài ra thì begin{align} I_{12}=Ileft(omega_1right)=Ileft(omega_2right)tag{0.2} end{align} Mà ta đã biết $$omega_1timesomega_2=omega_0^2=frac{1}{LC}tag{0.3}$$ Ta lấy $ω = ω_1$ chẳng hạn, thì được begin{align} I_{12}&=frac{U}{sqrt{R^2+L^2left(omega_1-frac{omega_0^2}{omega_1}right)^2}}\ &=frac{U}{sqrt{R^2+{L^2left(omega_1-omega_2right)}^2}}tag{0.4} end{align}

Các bài toán thí dụ về mạch RLC có tần số thay đổi

Bài 1. Áp dụng trực tiếp hiệu tần số

Trong mạch điện $RLC$, điện trở thuần $R = 100 text{Ω}$, độ tự cảm $L = 0text{,}1 text{H}$. Điện áp xoay chiều giữa hai đầu mạch có biểu thức $u = U_0cos{(ωt)}$, với $U_0$ không đổi, tần số góc $ω$ thay đổi được. Khi thay đổi tần số dòng điện thì có hai giá trị tần số góc $ω = ω_1$ và $ω = ω_2$ mà tại đó công suất tiêu thụ của mạch bằng nhau và bằng $200 text{W}$. Biết rằng $ω_1 – ω_2 = 500 text{rad/s}$. Tính $U_0$.

Giải

Ta nhớ sẵn $$I_{12}=frac{U}{sqrt{R^2+L^2left(omega_1-omega_2right)^2}}tag{1.1}$$ Chỉ thêm nó vào biểu thức công suất begin{align} P_{12}&=I_{12}^2R\ &=frac{U^2R}{R^2+L^2left(omega_1-omega_2right)^2}tag{1.2} end{align} Suy ra ngay begin{align} U&=sqrt{frac{P_{12}left[R^2+L^2left(omega_1-omega_2right)^2right]}{R}}\ &=sqrt{frac{200left[{100}^2+{0,1}^2times{500}^2right]}{100}}tag{1.3} end{align} $$U_0=sqrt2U=223,6 mathrm{V}tag{1.4}$$

Bài 2. Thử tự đi tìm công thức hiệu nghịch đảo hai tần số

Điện áp xoay chiều hai đầu mạch $RLC$ có giá trị hiệu dụng $U =250 text{V}$ không đổi, tần số góc $ω$ có thể thay đổi được. Biết giá trị điện trở thuần $R = 120 text{Ω}$. Khi thay đổi tần số dòng điện thì có hai giá trị $ω = ω_1$ và $ω = ω_2$ mà tại đó điện áp hai đầu điện trở bằng nhau và bằng $160 text{V}$. Biết rằng $frac{1}{omega_2}-frac{1}{omega_1}=frac{3}{350} text{(s/rad)}$. Tính điện dung $C$ của tụ điện.

Giải

Ta có thể phân tích biểu thức cường độ dòng điện hiệu dụng theo hướng có $C$ như sau: begin{align} I&=frac{U}{sqrt{R^2+frac{1}{C^2}left(omega LC-frac{1}{omega}right)^2}}\ &=frac{U}{sqrt{R^2+frac{1}{C^2}left(frac{omega}{omega_0^2}-frac{1}{omega}right)^2}}tag{2.1} end{align} Vì $$Ileft(omega_1right)=Ileft(omega_2right)=I_{12},$$ ta lấy $ω = ω_1 omega=omega_1$ chẳng hặn, khi đó $$I_{12}=frac{U}{sqrt{R^2+frac{1}{C^2}left(frac{omega_1}{omega^{0^2}}-frac{1}{omega_1}right)^2}}tag{2.2}$$ Ta vẫn chú ý rằng $$omega_0^2=omega_1omega_2$$ Nên $$I_{12}=frac{U}{sqrt{R^2+frac{1}{C^2}left(frac{1}{omega_2}-frac{1}{omega_1}right)^2}}tag{2.3}$$ begin{align} U_{R_{12}}&=I_{12}R\ &=frac{UR}{sqrt{R^2+frac{1}{C^2}left(frac{1}{omega_2}-frac{1}{omega_1}right)^2}}tag{2.4} end{align} Đến đây thì dễ dàng tính được begin{align} C&=frac{frac{1}{omega_2}-frac{1}{omega_1}}{sqrt{frac{U^2}{U_{R_{12}}^2}R^2-R^2}}\ &=frac{frac{3}{350}}{120sqrt{left(frac{200}{160}right)^2-1}}\ &=95text{,}2 mathrm{mu F} end{align}

Bài 3. Đề minh họa THPT quốc gia năm 2017

Đặt điện áp xoay chiều có giá trị hiệu dụng $200 text{V}$ và tần số $f$ thay đổi được vào hai đầu đoạn mạch có $R$, $L$, $C$ mắc nối tiếp. Biết cuộn cảm thuần có độ tự cảm $L=frac{1}{pi} text{H}$. Khi tần số $f = 50 text{Hz}$ hoặc $f = 200 text{Hz}$ thì cường độ dòng điện hiệu dụng trong đoạn mạch đều bằng $0text{,}4 text{A}$. Điều chỉnh tần số $f$ để cường độ dòng điện hiệu dụng trong đoạn mạch có giá trị cực đại. Giá trị cực đại này bằng bao nhiêu?

Giải

Có lẽ không khó để nhớ biểu thức cường độ hiệu dụng $I_{12}$ $$I_{12}=frac{U}{sqrt{R^2+L^2left(omega_1-omega_2right)^2}}tag{3.1}$$ Trong đó $I_{12} = 0text{,}4 text{A}$, $L = frac{1}{π} text{H}$, $U = 200 text{V}$, $ω_1 – ω_2 = 2π(200 – 50) = 300π text{rad/s}$. Dễ dàng suy ra begin{align} R&=sqrt{left(frac{U}{I_{12}}right)^2-L^2left(Deltaomegaright)^2}\ &=sqrt{left(frac{200}{0.4}right)^2-left(frac{1}{pi}right)^2timesleft(300piright)^2}\ &=400 Omega end{align} Ta phải đi tìm cường độ dòng điện hiệu dụng cực đại, với f thay đổi thì I = Imax khi cộng hưởng, tức là $$I_{mathrm{max}}=frac{U}{R}=frac{200}{400}=0text{,}5 text{A}$$

Bài 4. Đề thi ĐH năm 2012

Đặt điện áp $u = U_0cos{ωt} text{V}$ ($U_0$ không đổi, tần số góc $ω$ thay đổi được) vào hai đầu đoạn mạch gồm điện trở thuần $R$, cuộn cảm thuần có độ tự cảm $frac{4}{5pi} text{H}$ và tụ điện mắc nối tiếp. Khi tần số góc $ω = ω_0$ thì cường độ dòng điện hiệu dụng qua đoạn mạch đạt giá trị cực đại $I_text{m}$. Khi tần số góc $ω = ω_1$ hoặc $ω = ω_2$ thì cường độ dòng điện cực đại qua đoạn mạch bằng nhau và bằng $I_text{m}$. Biết $ω_1 − ω_2 = 200π text{rad/s}$. Giá trị của $R$ bằng bao nhiêu?

Giải

Mạch RLC có tần số thay đổi, cường độ hiệu dụng cực đại khi cộng hưởng $$I_mathrm{m}=frac{U}{R}tag{4.1}$$ Ta sử dụng ngay công thức đã chứng minh $$I_0=frac{Usqrt2}{sqrt{R^2+L^2left(omega-frac{omega_0^2}{omega}right)^2}}tag{4.2}$$ Khi $ω = ω_1$ thì $I = I_text{m}$, tức là begin{align} I_mathrm{m}&=frac{Usqrt2}{sqrt{R^2+L^2left(omega_1-omega_2right)^2}}\ &=frac{U}{R}tag{4.3} end{align} Suy ra begin{align} R&=L(omega_1-omega_2)\ &=frac{4}{5pi}200pi\ &=160 mathrm{Omega} end{align}

Bài 5. Đồ thị theo biến hiệu tần số

Điện áp xoay chiều hai đầu mạch $RLC$ có biểu thức ổn định $u = U_0cos{(ωt)}$, với điện áp cực đại $U_0$ không đổi, tần số góc $ω$ thay đổi được. Khi thay đổi tần số góc thì có hai giá trị của tần số góc là $ω = ω_1$ và $ω = ω_2$ mà tại đó cường độ hiệu dụng của mạch bằng nhau và bằng $I_{12}$. Đặt $x=left(frac{1}{I_{12}}right)^2$ và $y = (ω_1 – ω_2)^2$. Hình vẽ dưới đây là đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc của $y$ vào $x$ (với cường độ hiệu dụng $I_{12}$ tính theo đơn vị $text{A}$ và tần số góc $ω$ tính theo đơn vị $text{rad/s}$). Đồ thị biểu diễn sực phụ thuộc của cường độ hiệu dụng vào tần số dòng điện Giá trị của điện áp cực đại $U_0$ bằng bằng bao nhiêu?

Giải

Từ biểu thức $$I_{12}=frac{U}{sqrt{R^2+L^2left(omega_1-omega_2right)^2}}tag{5.1}$$ Ta đưa về phương trình liên hệ $x$ và $y$ begin{align} frac{1}{x}&=frac{U^2}{R^2+L^2y}tag{5.2}\ y&=U^2x-R^2tag{5.3} end{align} Trên đồ thị, hệ số góc $$tan{alpha}=U^2tag{5.3}$$ begin{align} Rightarrow U&=sqrt{tan{alpha}}.{10}^2\ &=100sqrt{frac{14-6}{2.24-1.12}}\ &approx267,26 mathrm{mathrm{V}} end{align}

Bài 6. Độ chênh lệch giữa hai tần số phụ thuộc vào điện trở của mạch RLC

Trong mạch điện $RLC$, cảm kháng $L$ của cuộn dây và điện dung $C$ của tụ điện không đổi, điện trở thuần $R$ có thể điều chỉnh giá trị. Điện áp xoay chiều hai đầu mạch có biểu thức $u = 220cos{(ωt)}$, trong đó tần số góc $ω$ thay đổi được. Với mỗi giá trị của biến trở $R$, khi thay đổi tần số dòng điện thì có hai giá trị tần số góc $ω = ω_1$ và $ω = ω_2$ mà tại đó công suất tiêu thụ của mạch bằng nhau và bằng $200 text{W}$. Tìm giá trị của điện trở $R$ để độ chênh lệch giữa hai tần số góc $ω_1$ và $ω_2$ là lớn nhất.

Giải

Như bài toán 1, công suất $P_{12}$ có biểu thức $$P_{12}=frac{U^2R}{R^2+L^2left(omega_1-omega_2right)^2}tag{6.1}$$ Suy ra $$L^2left(omega_1-omega_2right)^2=-R^2+frac{U^2}{P_{12}}Rtag{6.2}$$ $|ω_1 – ω_2|$ đạt cực đại khi begin{align} left(-R^2+frac{U^2}{P_{12}}Rright)^prime=0tag{6.3}\ -2R+frac{U^2}{P_{12}}=0tag{6.4} end{align} begin{align} R&=frac{U^2}{2P_{12}}\ &=frac{left(frac{220}{sqrt2}right)^2}{2times200}\ &=60text{,}5 Omega end{align}

Bài tập tự giải

Bài 1

Trong mạch điện $RLC$, $R = 150 text{Ω}$, $L = 0text{,}15 text{H}$. Điện áp xoay chiều giữa hai đầu mạch có biểu thức $u = 300cos{(ωt)}$, với $U_0$ không đổi, tần số góc $ω$ thay đổi được. Khi thay đổi tần số dòng điện thì có hai giá trị $ω = ω_1$ và $ω = ω_2$ mà tại đó công suất tiêu thụ của mạch bằng nhau và bằng $P_0$. Biết rằng $ω_1 – ω_2 = 600 text{rad/s}$. Giá trị của $P_0$ bằng bao nhiêu?

Bài 2

Điện áp xoay chiều hai đầu mạch $RLC$ có giá trị hiệu dụng $U =220 text{V}$ không đổi, tần số góc $ω$ có thể thay đổi được. Khi thay đổi tần số dòng điện thì có hai giá trị $ω = ω_1 = 376 text{rad/s}$ và $ω = ω_2 = 1328 text{rad/s}$ mà tại đó điện cường độ dòng điện hiệu dung bằng nhau và bằng $1 text{A}$, hai giá trị $ω = ω_3 = 505 text{rad/s}$ và $ω = ω_4 = 990 text{rad/s}$ mà tại đó điện cường độ dòng điện hiệu dung bằng nhau và bằng $1text{,}5 text{A}$. Tính $R$ và $L$.

Bài 3

Máy phát điện xoay chiều một pha có 4 cặp cực (phần ứng có 8 cuộn dây giống nhau), điện trở thuần của các cuộn dây phần ứng không đáng kể. Nối hai đầu ra của máy phát điện này với hai đầu A, B của một mạch điện xoay chiều $RLC$. Biết $R = 150 text{Ω}$ và $C=frac{{10}^{-4}}{pi} mathrm{F}$. Khi roto quay với tốc độ 5 vòng/s hoặc 20 vòng/s thì điện áp hiệu dụng trên tụ điện bằng nhau và bằng 200 V. Từ thông cực đại qua mỗi cuộn dây của phần ứng bằng bao nhiêu?

Hãy cho một lời bình về bức ảnh đại diện của bài viết…

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai.